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복잡 연결망에서 유한크기 눈금잡기2

noise 2009/07/03 20:07

$m=L^{-\beta/\nu_T}g(L^{1/\nu_T}\epsilon)=N^{-\beta/\bar\nu}g(N^{1/\bar\nu}\epsilon),\ N=L^d,\ \bar\nu=d\nu_T$

앞 글에서 자기화의 FSS(유한크기 눈금잡기) 형태를 다시 쓰면 위와 같습니다. 이는 연결망에서의 FSS를 위한 준비작업에 해당합니다. 그래서 공간차원이랄게 없는, 즉 대개 차원이 무한하다고 여겨지는 연결망에 FSS 이론을 적용하기 위해 L대신 N을 쓰고 ν대신 여기에 d를 곱한 지수, 즉 ν 위에 작대기를 그은 것(;;; 여튼 'ν바(bar)'로 쓰겠습니다.)을 새로 정의합니다. 윗임계차원보다 높은 차원에서 ν바는 2인데, 이는 또한 윗임계차원에 가우스 길이에 관한 지수 ν_G를 곱한 값과도 같다고 합니다.

다음으로 척도없는 연결망(scale-free network; SFN) 위의 이징 모형에 대한 란다우 자유에너지를 써보겠습니다. 이는 도로고프체프(S.N. Dorogovtsev; 발음이 맞나요?) 팀에서 처음 제시한 것인데요, 일단 보시죠.

$P(k)\sim k^{-\lambda},\ f(m)=-\epsilon m^2+um^4+v|m|^{\lambda-1}+\mathcal{O}(m^6)$

보통 이웃수분포의 지수는 γ로 표기하는데 여기서는 감수율의 임계지수로 이미 쓰고 있으므로 대신 λ를 이용합니다. 저런 형태의 이웃수분포가 왜 m의 λ - 1 제곱꼴로 자유에너지에 도입되는지를 간단히 살펴보겠습니다. (도로고프체프 연구팀의 2003년 PRE 논문을 보시면 더 자세한 유도과정을 보실 수 있습니다.)

자기화가 m인 상태에서 이웃수가 k인 어떤 스핀은 이웃들로부터 대략 km 정도의 영향을 받겠죠. 이로 인한 자유에너지를 간단히 φ(km)으로 쓰겠습니다. 그런데 시스템 전체의 자유에너지에는 가능한 모든 k에 대한 영향이 모두 고려되어야 합니다. 즉 이웃수분포를 곱해서 더해주면(적분해주면) 되겠죠.

$\sum_k P(k)\phi(km)\approx \int dkP(k)\phi(km)\propto m^{\lambda-1}\times const.$

위의 마지막 '상수(const.)'에는 함수 φ에 관한 정적분 값이 포함되는데 m과 무관한 상수입니다.

다시 저 위의 란다우 자유에너지를 봅시다. 자유에너지를 m으로 전개하는 건 m이 매우 작다는 전제에서 가능합니다. 그러므로 높은 차수의 항들은 무시할 수 있지요. 그럼 척도없는 연결망에 의해 튀어나온 저 새로운 항이 무시할만한지 아닌지는 λ에 따라 달라집니다.

λ가 5보다 크다면 m의 4제곱 항보다 높은 차수가 되므로 무시할 수 있습니다. 그러면 기존의 평균장(mean-field) 결과가 그대로 나오겠죠. 즉

$\beta=1/2,\ \bar\nu = 2$

입니다.

λ가 5보다 작고 3보다 크다면 이제 m의 4제곱 항이 무시됩니다. 여기서 앞 글에서 제시된 방울 들뜸 논의를 그대로 적용하면 알고자 하는 임계지수들을 모두 λ의 함수로 새롭게 구해낼 수 있습니다.

$\beta=1/(\lambda-3),\ \bar\nu = (\lambda-1)/(\lambda-3)$

마지막으로 λ가 3보다 작다면 온도에 비례하는 계수를 가진 m의 제곱항보다도 λ - 1 제곱한 항이 우세해지므로 온도가 유한하다면 상전이가 일어나지 않습니다.

이런 논의들이 가능한 건, 척도없는 연결망의 이웃수분포가 그 정의에 의해 거듭제곱꼴이기 때문입니다. 그래서 이웃수분포의 거듭제곱 지수가 자유에너지의 다른 항들과 경쟁하여 경우에 따라 임계지수를 바꾸기도 하는데, 그러면서 자연스럽게 임계지수가 이웃수분포의 거듭제곱 지수로 씌어집니다. 또한 그 과정에서 기존의 FSS를 수정한 새로운 형태를 제시함으로써 이런 논의들이 매끄럽게 이어지는 것 같습니다.

다만 아직까지 가우스 길이와 방울 길이에 관한 논의들이 척도없는 연결망에서는 어떤 식으로 재해석될 수 있는지, 아니면 이미 평균장이 적용되므로 그냥 상관없는 얘기가 되는건지 정리가 안되네요. 이 논문의 마지막 부분은 비평형 통계물리 모형에 대한 논의와 시늉내기 결과로 이루어집니다. 이건 나중에 여유가 더 생기면 정리해보도록 하죠.

이 글은 스프링노트에서 작성되었습니다.

꼬리표 | FSS, 란다우 자유에너지, 물리학, 복잡 연결망, 연결망 이론, 유한크기 눈금잡기, 이웃수분포, 임계현상, 척도없는 연결망, 통계물리

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복잡 연결망에서 유한크기 눈금잡기(Finite-size scaling in complex networks)

noise 2009/07/02 18:01

재작년 <피지컬 리뷰 레터스(PRL)>에 실린 위 제목의 논문을 조금 봤습니다. 연결망에 대해 말하기 전에 d차원 공간 위에서의 이징 모형에 대한 '표준' 유한크기 눈금잡기(FSS) 이론을 먼저 소개합니다. 환산온도가 아래 왼쪽처럼 정의되고, 임계점 근처에서 자기화, 감수율, 상관길이가 각각 환산온도의 거듭제곱꼴로 씌어집니다.

$\epsilon\equiv (T_c-T)/T_c,\ m\sim \epsilon^\beta, \chi\sim |\epsilon|^{-\gamma},\ \xi\sim |\epsilon|^{-\nu}$

그럼 자유에너지 밀도의 특이성 부분에 대한 FSS 이론은 아래와 같습니다.

$f(\epsilon,h,L^{-1})=b^{-d}f(b^{y_T}\epsilon,b^{y_H}h,bL^{-1})$

b는 눈금요소(scale factor)이고, L은 시스템의 크기(linear size)이고, h는 외부 장(external field)입니다. f를 h로 한 번 미분한 게 자기화입니다. h가 0인 경우의 자기화만 생각하겠습니다.

$m=\partial_h f|_{h=0}= b^{-d+y_H}f'(b^{y_T}\epsilon,0,bL^{-1})$

이제 함수 f'의 첫번째 변수가 1이 되도록 b를 결정할 수 있습니다. 그럼 m과 ε의 관계로만 쓸 수 있게 됩니다.

$m=\epsilon^{(d-y_H)/y_T}f'(1,0,\epsilon^{-1/y_T}L^{-1}),\ \beta=(d-y_H)/y_T$

결과적으로 위 식의 오른쪽처럼 자기화 지수 β를 y_H, y_T로 나타낼 수 있습니다. 이런 식으로 모든 임계지수가 y들로 표현됩니다. f'의 첫번째 변수가 아니라 세번째 변수가 1이 되도록 b를 잡을 수도 있습니다. 즉 b = L이죠. 그럼 m을 L로 나타낼 수 있습니다.

$m=L^{-\beta y_T}f'(L^{y_T}\epsilon,0,1)=L^{-\beta y_T}g(L^{y_T}\epsilon)$

다음으로 상관길이 역시 눈금요소를 이용해서 쓸 수 있습니다.

$\xi(\epsilon,h)=b\xi(b^{y_T}\epsilon,b^{y_H}h)$

역시 h가 0일 때 함수의 첫번째 변수가 1이 되도록 b를 정하면 아래와 같습니다.

$\xi(\epsilon,h)=\epsilon^{-1/y_T}\xi(1,0),\ \nu=1/y_T$

상관길이의 임계지수 ν에 관한 위의 두번째 식을 '초눈금잡기 관계식(hyperscaling relation)'이라 부릅니다.

함수 g의 변수의 ε을 상관길이 ξ로 바꿔쓰면 L과 ξ가 경쟁한다는 것을 알 수 있습니다. 시스템이 충분히 크다면(L >> ξ) 당연히 유한크기 효과가 사라질테고, 그 반대인 경우에는 임계점에서 무한히 커지는 상관길이가 시스템 크기에 의해 제약됩니다.

초눈금잡기 관계식은 차원이 낮은 시스템에서 성립하며 위의 FSS 이론이 잘 적용된다고 합니다. 반면 초눈금잡기 관계식이 더이상 성립하지 않는 높은 차원의 시스템에서 위의 FSS는 수정되어야 한다고 합니다. 다시 말해서 기존의 상관길이와는 다른 길이가 존재하여 이것이 시스템 크기와 경쟁한다고 생각할 수 있는데요, 이를 위해 방울 들뜸(droplet-excitation) 논의를 제시합니다.

란다우 자유에너지에 공간에 따른 자기화의 변화 항을 추가해서 써보겠습니다. (참고로 아래식의 역삼각형은 LaTeX에서 \nabla로 쓰는데요, 구글링해보니 역삼각형 모양의 악기인 하프의 그리스어가 nabla라고 하네요.)

$f(m)=a(\nabla m)^2-\epsilon m^2 + um^4$

우변의 앞의 두 항만 보면 임계점 근처에서 생기는 먼거리 상관(long range correlation)의 크기, 즉 상관길이가 ε에 따라 어떻게 변하는지 알 수 있습니다. 이를 가우스 길이(Gaussian length)라고 하고 다음처럼 씁니다.

$\xi_G\sim \epsilon^{-\nu_G},\ \nu_G=1/2$

이와 다른 상관길이는 균일한 질서의 바다('바다'는 제 표현입니다)에서 무질서한 방울이 들뜰 때 이 방울의 크기로서 정의됩니다. 이제 위 자유에너지 식에서 뒤의 두 항만 생각합니다. 임계점 바로 아래, 즉 질서 상태에서 열적 요동에 의해 나타날 수 있는 이런 방울의 에너지는 그 열에너지 정도라고 할 수 있습니다. 방울의 에너지는 들뜸에 필요한 자유에너지 밀도에 부피를 곱해주면 되죠. 임계점 바로 아래의 자기화는 ε^1/2 정도이므로 들뜸에 필요한 자유에너지 밀도 △f는 -ε² 정도가 됩니다.

$(\Delta f)\xi_T^d\sim k_BT,\ \xi_T\sim \epsilon^{-\nu_T},\ \nu_T=2/d=1/y_T$

열적 요동에 의해 가우스 길이도 나타나지만 방울 길이(droplet length; 논문에 이 말이 있었는지 모르겠네요)도 나타납니다. 이 두 길이 중 어떤 놈이 우세하냐가 중요해집니다. 보시다시피 이는 공간차원 d에 따라 결정됩니다. d가 4보다 작으면 ν_T가 ν_G보다 크므로 방울 길이가 가우스 길이보다 우세해집니다. 반면 d가 4보다 크면 반대로 가우스 길이가 우세해지죠. 어느쪽이든 우세한 길이의 임계지수가 시스템의 FSS 지수(FSS exponent)로서 나타날 겁니다.

덧붙이자면, 가우스 길이는 공간차원과 무관하게 결정됩니다. 이는 마치 마구걷개에서 r²~t라는 관계식이 공간차원과 무관하다는 것과 비슷하죠. 그런데 방울 길이는 그 방울이 d차원 부피를 가지므로 당연히 d에 의존합니다. 이런 방울이 나타나게 해주는 열에너지는 정해져 있는데, 이를테면 10000개의 스핀을 뒤집을 수 있는 에너지라고 합시다. 1차원이라면 방울 길이는 10000이지만, 2차원이라면 방울 길이는 100으로 줄어들고, 4차원이라면 10으로 줄어들 겁니다. 즉 차원이 높아질수록 방울 길이는 당연히 줄어들고 어느 순간 가우스 길이보다 줄어드는데 그때의 차원이 윗임계차원(upper critical dimension)이 됩니다.

설명이 깔끔하지 못하네요. 좀더 인간의 언어로 풀어서 생각해보겠습니다. 끝.

이 글은 스프링노트에서 작성되었습니다.

꼬리표 | finite-size scaling, 가우스 길이, 물리학, 방울 길이, 유한크기 눈금잡기, 임계현상, 통계물리

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